Ответы и объяснения

Denik777
Denik777

Т.к. x^4=2y^2+1, то x - нечетное. Значит x=2n+1. Перепишем уравнение в виде (x-1)(x+1)(x^2+1)=2y^2 и подставим x=2n+1. Тогда
2n(2n+2)(4n^2+4n+2)=2y^2
4n(n+1)(2n(n+1)+1)=y^2, откуда n(n+1)(2n(n+1)+1) - полный квадрат.
Обозначим n(n+1)=z. Тогда z(2z+1) - полный квадрат.

Дальше воспользуемся таким свойством: если числа a и b отличны от 0 и взаимно просты, и при этом a*b - полный квадрат, то а и b - тоже полные квадраты. Действительно, если, допустим а - не полный квадрат, то какое-то простое p входит вразложение числа а  в нечетной степени. Значит это p обязано входить и в разложение числа b (тоже в нечетной степени), чтобы ab было полным квадратом и p входило в него в четной степени.

Итак,  если z=0, то получаем n=0 или n=-1, что дает решения (x,y)=(1,0) и (-1,0). Если z≠0, то z и 2z+1 всегда взаимно просты и z(2z+1) - полный квадрат, значит z - полный квадрат, а т.к. z=n(n+1) и n,n+1 - взаимно просты, то n и n+1 - тоже полные квадраты, но такое может быть только при n=0. А этот случай уже рассмотрели. Итак, ответ: (1,0) и (-1,0).

5.0
1 оценка
1 оценка
Оцени!
Оцени!